Евгений Свешников родом из Челябинска. Он был победителем Всесоюзных турниров молодых мастеров, в 1977 году стал гроссмейстером. Именно Свешников, еще в молодости, разработал и ввел в мировую практику челябинский вариант сицилианской защиты, который известен на Западе как The Sveshnikov Sicilian.
В составе сборной СССР Евгений Свешников в 1976 году выиграл молодежный чемпионат мира, через год и чемпионат Европы. Активную спортивную форму шахматист поддерживал до последних лет: в 2017 году выиграл индивидуальный чемпионат мира среди мужчин старше 65 лет.
Свешников был одним из руководителей Всероссийской шахматной школы, руководил несколькими региональными школами.
